Изменение момента количества движения. Теорема об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки Задачи для самостоятельного решения

Первая производная по времени от кинетического момента точки относительно какого-либо центра равна моменту силы относительно того же центра:

Проецируя (171) на прямоугольные декартовы оси координат, получаем теоремы об изменении кинетического момента точки относительно этих осей координат:

,
,
. (171")

Теорема об изменении кинетического момента системы

Первая производная по времени от кинетического момента системы относительно какой-либо точки равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на систему, относительно той же точки.

, (172)

где
– главный момент всех внешних сил системы.

Проецируя (172) на прямоугольные декартовы оси координат, получаем теоремы об изменении кинетического момента системы относительно этих осей координат, т. е.

,
,
. (172")

Законы сохранения кинетических моментов

1. Если главный момент внешних сил системы относительно точки равен нулю, т. е.
, то, согласно (79), кинетический момент системы
относительно той же точки постоянен по модулю и направлению, т. е.

. (173)

Этот частный случай теоремы об изменении кинетического момента системы называют законом сохранения кинетического момента . В проекциях на прямоугольные декартовы оси координат по этому закону

,
,
,

где ,,– постоянные величины.

2. Если сумма моментов всех внешних сил системы относительно оси
равна нулю, т.е.
, то из (172") следует, что

. (174)

Следовательно, кинетический момент системы относительно какой-либо координатной оси постоянен, если сумма моментов внешних сил относительно этой оси равна нулю, что, в частности, наблюдается, когда внешние силы параллельны оси или пересекают ее. В частном случае для тела или системы тел, которые все вместе могут вращаться вокруг неподвижной оси, и если при этом

,

, или
, (175)

где и– момент инерции системы тел и их угловая скорость относительно оси вращения в произвольный момент времени;и– момент инерции тел и их угловая скорость в момент времени, выбранный за начальный.

Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси

Из теоремы об изменении кинетического момента (172") следует дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
:

, (176)

где – угол поворота тела.

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела в общем случае позволяет решать две основные задачи: по заданному вращению тела определять вращающий момент внешних сил и по заданному вращательному моменту и начальным условиям находить вращение тела. При решении второй задачи для нахождения угла поворота приходится интегрировать дифференциальное уравнение вращательного движения. Методы его интегрирования полностью аналогичны рассмотренным методам интегрирования дифференциального уравнения прямолинейного движения точки.

Теорема об изменении кинетического момента системы в относительном движении по отношению к центру масс

Пусть механическая система совершает движение относительно основной системы координат
. Возьмем подвижную систему координат
с началом в центре масс системы, движущуюся поступательно относительно основной системы координат. Можно доказать справедливость формулы:

где – абсолютная скорость центра масс,
.

Величина
является кинетическим моментом системы относительно центра масс для относительного движения относительно системы координат, движущейся поступательно вместе с центром масс, т. е. системы
.

Формула (176) показывает, что кинетический момент абсолютного движения системы относительно неподвижной точки равен векторной сумме кинетического момента центра масс относительно той же точки, если бы в центре масс была сосредоточена вся масса системы, и кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движение системы по отношению к подвижной системе координат, движущейся поступательно вместе с центром масс.

Теорема об изменении кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движения системы по отношению к системе координат, движущейся поступательно с центром масс; она формулируется так же, как если бы центр масс был неподвижной точкой :

или
, (178)

где
является главным моментом всех внешних сил относительно центра масс.

Глава 14. Теоремы о движении центра масс и об изменении количества движения и кинетического момента.

14.5. Момент количества движения.

14.5.1. Материальная точка массой m = 0,5 кг движется по оси Оу соглас­но уравнению у = 5t 2 . Определить момент количества движения этой точки относительно центра О в момент времени t = 2 с. (Ответ 0)

14.5.2. Материальная точка М массой m = 0,5 кг движется со скоростью v = 2 м/с по прямой АВ. Определить момент количества движения точки относительно начала координат, если расстояние ОА = 1 м и угол α = 30°. (Ответ 0,5)

14.5.3. Материальная точка М массой m = 1 кг движется равномерно по окружности со ско­ростью v = 4 м/с. Определить момент коли­чества движения этой точки относительно центра С окружности радиуса r = 0,5 м. (Ответ 2)

14.5.4. Движение материальной точки М массой m = 0,5 кг происходит по окружности радиуса r = 0,5 м согласно уравнению s = 0,5t 2 . Опре­делить момент количества движения этой точки относительно центра окружности в мо­мент времени t = 1 с. (Ответ 0,25)

14.5.5. Определить момент количества движения материальной точки массой m = 1 кг относительно начала координат в положении, когда ее координаты х = у = 1 м и проекции скорости v x = v y = 1 м/с. (Ответ 0)

14.5.6. Материальная точка М массой m = 0,5 кг движется по кривой. Даны координаты точки: х = у = z = 1 м и проекции скорости v x = 1 м/с, v у = 2 м/с, v z = 4 м/с. Определить момент количества движения этой точки относительно оси O x (Ответ 1)

14.5.7. Материальная точка массой m = 1 кг движется по закону: х = 2t, у = t 3 , z = t 4 . Определить момент количества движения этой точки относительно оси О у в момент времени t = 2 с.
(Ответ -96)

14.5.8. Скорость материальной точки массой m = 1 кг определяется вы­ражением v = 2ti + 4tj + 5k. Определить модуль момента количества движения точки относительно начала координат в момент времени t = 2 с, когда ее координаты х = 2 м, у = 3 м, z = 3 м. (Ответ 10,0)

14.5.9. Трубка равномерно вращается с угловой скоростью ω = 10 рад/с. По трубке движется шарик массой m = 1 кг. Определить момент количества движения шарика относительно оси вращения трубки, когда расстояние ОМ = 0,5 м и скорость шарика относительно труб­ки v r = 2 м/с. (Ответ 2,5)

14.5.10. Конус вращается равномерно вокруг оси A z с угловой скоростью ω = 4 рад/с. По образующей конуса движется материальная точка М массой 1 кг. Определить момент количества движения материальной точки относительно оси O z в положении, когда расстояние ОМ = 1 м, если угол α = 30°. (Ответ 1)

14.5.11. Однородный стержень длиной l = 1 м и массой m = 6 кг вращается с угловой ско­ростью ω = 10 рад/с. Определить кинетический момент стержня относительно центра О.
(Ответ 20)

14.5.12. Тонкостенная труба массой m = 10 кг ка­тится по горизонтальной плоскости с угловой скоростью ω = 10 рад/с. Определить кинети­ческий момент цилиндра относительно мгно­венной оси вращения, если радиус r =10 см. (Ответ 2)

14.5.13. Кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью ω = 6 рад/с. Колесо 2 катится по неподвижному колесу 1. Определить кинетический момент колеса 2 относительно его мгновенною центра скоростей К, если радиус r = 0,15 м. Колесо 2 считать однород­ным диском массой m = 3 кг. (Ответ 1,22)

14.5.14. Конус катится по неподвижной плоскости без скольжения. Скорость центра основания конуса v c = 0,9 м/с, радиус r = 30 см. Опре­делить модуль кинетического момента конуса относительно мгновенной оси вращения, если его момент инерции относительно этой оси равен 0,3 кг м 2 . (Ответ 1,04)

14.5.15. В плоскости О ху движутся материальные точки М 1 и М 2 , массы которых m 1 = m 2 = 1 кг. Определить кинетический момент дан­ной системы материальных точек относительно точки О в положении, когда скорости v 1 = 2v 2 = 4 м/с, расстояния ОМ 1 = 2ОМ 2 = 4м и углы α 1 = α 2 = 30°. (Ответ 6)

14.5.16. Материальные точки М 1 ,М 2 ,М 3 массы которых m 1 = m 2 = m 3 = 2 кг, движутся по окружности радиуса r = 0,5 м. Определить кинетический момент системы материальных точек относительно центра О окружности, если их скорости v 1 = 2 м/с, v 2 = 4 м/с, v 3 = 6 м/с. (Ответ 12)

14.5.17. Цилиндр 1 вращается с угловой ско­ростью ω = 20 рад/с. Его момент инерции от­носительно оси вращения I = 2 кг м 2 , радиус r = 0,5 м. Груз 2 имеет массу m 2 = 1 кг. Опре­делить кинетический момент механической системы относительно оси вращения. (Ответ 45)

14.5.18. На барабан 2, момент инерции которого от­носительно оси вращения I = 0,05 кг м 2 , намотаны нити, к которым прикреплены грузы 1 и 3 массой m 1 = 2m 3 = 2 кг. Определить кинетический момент системы тел относитель­но оси вращения, если угловая скорость ω = 8 рад/с, радиусы R = 2r = 20 см. (Ответ 1,12)

• 1. Алгебраический момент количества движения относительно центра. Алгебраический О -- скалярная величина, взятая со знаком (+) или (-) и равная произведению модуля количества движения m на расстояние h (перпендикуляр) от этого центра до линии, вдоль которой направлен вектор m :
• 2. Векторный момент количества движения относительно центра.

Векторный момент количества движения материальной точки относительно некоторого центра О -- вектор, приложенный в этом центре и направленный перпендикулярно плоскости векторов m и в ту сторону, откуда движение точки видно против хода часовой стрелки. Это определение удовлетворяет векторному равенству

Моментом количества движения материальной точки относительно некоторой оси z называется скалярная величина, взятая со знаком (+) или (-) и равная произведению модуля проекции вектора количества движения на плоскость, перпендикулярную этой оси, на перпендикуляр h, опущенный из точки пересечения оси с плоскостью на линию, вдоль которой направлена указанная проекция:

Кинетический момент механической системы относительно центра и оси

1. Кинетический момент относительно центра.

Кинетическим моментом или главным моментом количеств движения механической системы относительно некоторого центра называется геометрическая сумма моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно того же центра.

2. Кинетический момент относительно оси.

Кинетическим моментом или главным моментом количеств движения механической системы относительно некоторой оси называется алгебраическая сумма моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно той же оси.

3. Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью.

Теорема об изменении момента количества движения материальной точки относительно центра и оси

1. Теорема моментов относительно центра.

Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторого неподвижного центра равна моменту силы, действующей на точку, относительно того же центра

2. Теорема моментов относительно оси.

Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторой оси равна моменту силы, действующей на точку, относительно той же оси

Теорема об изменении кинетического момента механической системы относительно центра и оси

Теорема моментов относительно центра.

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра равна геометрической сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра;

Следствие. Если главный момент внешних сил относительно некоторого центра равен нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра не изменяется (закон сохранения кинетического момента).

2. Теорема моментов относительно оси.

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторой неподвижной оси равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно этой оси

Следствие. Если главный момент внешних сил относительно некоторой оси равен нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси не изменяется.

Например, = 0, тогда L z = const.

Работа и мощность сил

Работа силы -- скалярная мера действия силы.

1. Элементарная работа силы.

Элементарная работа силы -- это бесконечно малая скалярная величина, равная скалярному произведению вектора силы на вектор бесконечного малого перемещения точки приложения силы: ; - приращение радиуса-вектора точки приложения силы, годографом которого является траектория этой точки. Элементарное перемещение точки по траектории совпадает с в силу их малости. Поэтому

если то dA > 0;если, то dA = 0;если , то dA < 0.

2. Аналитическое выражение элементарной работы.

Представим векторы и d через их проекции на оси декартовых координат:

, . Получим (4.40)

3. Работа силы на конечном перемещении равна интегральной сумме элементарных работ на этом перемещении

Если сила постоянная, а точка ее приложения перемещается прямолинейно,

4. Работа силы тяжести. Используем формулу:Fx = Fy = 0; Fz = -G = -mg;

где h- перемещение точки приложения силы по вертикали вниз (высота).

При перемещении точки приложения силы тяжести вверх A 12 = -mgh (точка М 1 -- внизу, M 2 -- вверху).

Итак,. Работа силы тяжести не зависит от формы траектории. При движении по замкнутой траектории (M 2 совпадает с М 1 ) работа равна нулю.

5. Работа силы упругости пружины.

Пружина растягивается только вдоль оси х:

F y = F z = О, F x = = -сх;

где - величина деформации пружины.

При перемещении точки приложения силы из нижнего положения в верхнее направление силы и направление перемещения совпадают, тогда

Поэтому работа силы упругости

Работа сил на конечном перемещении; Если = const, то

где - конечный угол поворота; , где п -- число оборотов тела вокруг оси.

Кинетическая энергия материальной точки и механической системы. Теорема Кенига

Кинетическая энергия - скалярная мера механического движения.

Кинетическая энергия материальной точки - скалярная положительная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости,

Кинетическая энергия механической системы -- арифметическая сумма кинетических энергий всех материал точек этой системы:

Кинетическая энергия системы, состоящей из п связанных между собой тел, равна арифметической сумме кинетических энергий всех тел этой системы:

Теорема Кенига

Кинетическая энергия механической системы в общем случае ее движения равна сумме кинетической энергии движения системы вместе с центром масс и кинетической энергии системы при ее движении относительно центра масс:

где Vkc -- скорость k- й точки системы относительно центра масс.

Кинетическая энергия твердого тела при различном движении

Поступательное движение.

Вращение тела вокруг неподвижной оси . ,где -- момент инерции тела относительно оси вращения.

3. Плоскопараллельное движение. , где - момент инерции плоской фигуры относительно оси, проходящей через центр масс.

При плоском движении тела кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения тела со скоростью центра масс и кинетической энергии вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс, ;

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки

Теорема в дифференциальной форме.

Дифференциал от кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе силы, действующей на точку,

Теорема в интегральной (конечной) форме.

Изменение кинетической энергии материальной точки на некотором перемещении равно работе силы, действующей на точку, на том же перемещении.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Теорема в дифференциальной форме.

Дифференциал от кинетической энергии механической системы равен сумме элементарных работ внешних и внутренних сил, действующих на систему.

Теорема в интегральной {конечной) форме.

Изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, приложенных к системе, на том же перемещении. ; Для системы твердых тел = 0 (по свойству внутренних сил). Тогда

Закон сохранения механической энергии материальной точки и механической системы

Если на материальную точку или механическую систему действуют только консервативные силы, то в любом положении точки или системы сумма кинетической и потенциальной энергий остается величиной постоянной.

Для материальной точки

Для механической системы Т+ П= const

где Т+ П -- полная механическая энергия системы.

Динамика твердого тела

Дифференциальные уравнения движения твердого тела

Эти уравнения можно получить из общих теорем динамики механической системы.

1. Уравнения поступательного движения тела -- из теоремы о движении центра масс механической системы В проекциях на оси декартовых координат

2. Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси - из теоремы об изменении кинетического момента механической системы относительно оси, например, относительно оси

Так как кинетический момент L z твердого тела относительно оси, то если

Так как или, то уравнение можно записать в виде или,форма записи уравнения зависит от того, что следует определить в конкретной задаче.

Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела представляют собой совокупность уравнений поступательного движения плоской фигуры вместе с центром масс и вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс:

Физический маятник

Физическим маятником называется твердое тело, вращающееся вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр масс тела, и движущееся под действием силы тяжести.

Дифференциальное уравнение вращения

В случае малых колебаний.

Тогда, где

Решение этого однородного уравнения.

Пусть при t=0 Тогда

-- уравнение гармонических колебаний.

Период колебаний маятника

Приведенная длина физического маятника -- это длина такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника.

Из двух основных динамических харак­теристик, величина является векторной. Иногда при изучении движения точки вместо изменения самого вектора оказывается необходимым рассматривать изменение его момента. Мо­мент вектора относительно данного центра О или оси z обозна­чается или и называется соответственно моментом количества движения или кинетическим моментом точки отно­сительно этого центра (оси). Вычисляется момент вектора так же, как и момент силы. При этом вектор считается приложенным к движущейся точке. По модулю , где h - длина перпендикуляра, опущенного из центра О на направление вектора (рис.15).

Теорема моментов отно­сительно центра. Найдем для ма­териальной точки, движущейся под дей­ствием силы F (рис.15), зависимость между моментами векторов и отно­сительно какой-нибудь неподвижного центра О . В конце было показано, что .

Аналогично

При этом вектор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и вектор , а вектор - перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и вектор .

Рис.15

Дифференцируя выражение по времени, получаем:

Но , как векторное произведение двух параллельных векторов, a . Следовательно,

В результате мы доказали следующую теорему моментов относительно центра: производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра . Аналогичная теорема имеетместо для моментов вектора силы относительно какой-нибудь оси z, в чем можно убедиться, проектируя обе части равенства на эту ось. Ма­тематическое выражение теоремы моментов относительно оси дается формулой .

Вопросы для самопроверки

Каковы две меры механического движения и соответствующие им измерители действия силы?

Какие силы называют движущими?

Какие силы называют силами сопротивления?

Запишите формулы для определения работы при поступательном и вращательном движениях?

Какую силу называют окружной? Что такое вращающий момент?

Сформулируйте теорему о работе равнодействующей.

Как определяется работа постоянной по модулю и направлению силы на прямолинейном перемещении?

Чему равна работа силы трения скольжения, если эта сила постоянна по модулю и направлению?

Каким простым способом можно вычислить работу постоянной по модулю и направлению силы на криволинейном перемещении?

Чему равна работа равнодействующей силы.

Как выразить элементарную работу силы через элементарный путь точки приложения силы и как – через приращение дуговой координаты этой точки?

Каково векторное выражение элементарной работы?

Каково выражение элементарной работы силы через проекции силы на оси координат?

Напишите различные виды криволинейного интеграла, определяющего работу переменной силы на конечном криволинейном перемещении.

В чем состоит графический способ определения работы переменной силы на криволинейном перемещении?

Как вычисляются работа силы тяжести и работа силы упругости?

На каких перемещениях работа силы тяжести: а) положительна, б) отрицательна, в) равна нулю.

В каком случае работа силы упругости положительна и в каком – отрицательна?

Какая сила называется: а) консервативной; б) неконсервативной; в) диссипативной?

Что называется потенциалом консервативных сил?

Какое поле называется потенциальным?

Что называется силовой функцией?

Что называется силовым полем? Приведите примеры силовых полей.

Какими математическими зависимостями связаны потенциал поля и силовая функция?

Как определить элементарную работу сил потенциального поля и работу этих сил на конечном перемещении системы, если известна силовая функция поля?

Какова работа сил, действующих на точки системы в потенциальном поле, на замкнутом перемещении?

Чему равна потенциальная энергия системы в любом ее положении?

Чему равно изменение потенциальной энергии механической системы при перемещении ее из одного положения в другое?

Какая зависимость существует между силовой функцией потенциального поля и потенциальной энергией системы, находящейся в этом поле?

Вычислите изменение кинетической энергии точки массой 20 кг, если ее скорость увеличилась с 10 до 20 м/с?

Как определяются проекции на координатные оси силы, действующей в потенциальном поле на любую точку системы?

Какие поверхности называются эквипотенциальными и каковы их уравнения?

Как направлена сила, действующая на материальную точку в потенциальном поле, по отношению к эквипотенциальной поверхности, проходящей через эту точку?

Чему равна потенциальная энергия материальной точки и механической системы, находящихся под действием сил тяжести?

Какой вид имеют эквипотенциальные поверхности поля силы тяжести и ньютоновой силы тяготения?

В чем заключается закон сохранения и превращения механической энергии?

Почему под действием центральной силы материальная точка описывает плоскую кривую?

Что называют секторной скоростью и как выразить ее модуль в полярных координатах?

В чем заключается закон площадей?

Какой вид имеет дифференциальное уравнение в форме Бине, определяющее траекторию точки, движущейся под действием центральной силы?

По какой формуле определяется модуль ньютоновой силы тяготения?

Каков канонический вид уравнения конического сечения и при каких значениях эксцентриситета траектория тела, движущегося в поле ньютоновой силы тяготения, представляет собой окружность, эллипс, параболу, гиперболу?

Сформулируйте законы движения планет, открытые Кеплером.

При каких начальных условиях тело становится спутником Земли и при каких оно способно преодолеть земное притяжение?

Каковы первая и вторая космические скорости?

Запишите формулы для расчета работы при поступательном и вращательном движениях?

Вагон массой 1000 кг перемещают по горизонтальному пути на 5 м, коэффициент трения 0,15. Определите работу силы тяжести?

Запишите формулы для расчета мощности при поступатель­ном и вращательном движениях?

Определите мощность, необходимую для подъема груза весом 0,5 кН на высоту 10 м за 1 мин?

Чему равна работа силы, приложенной к прямолинейно движущемуся телу массой 100 кг, если скорость тела увеличилась с 5 до 25 м/с?

Определите общий КПД механизма, если при мощности двигателя 12,5 кВт и общей силе сопротивления движению 2 кН скорость движения 5 м/с.

Если автомобиль въезжает на гору при неизменной мощности двигателя, то он уменьшает скорость движения. Почему?

Работа постоянной силы при прямолинейном перемещении W =10 Дж. Какой угол составляет направление силы с направлением перемещения?

1) острый угол;

2) прямой угол;

3) тупой угол.

Как изменится кинетическая энергия прямолинейно движущейся точки, если ее скорость увеличится в два раза?

1) увеличится в два раза;

2) увеличится в четыре раза.

Чему равна работа силы тяжести при горизонтальном перемещении тела?

1) произведению силы тяжести на перемещение;

2) работа силы тяжести равна нулю.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. С башни высотой 25 м горизонтально брошен камень со скоростью 15 м/с. Найти кинетическую и потенциальную энергию камня спустя одну секунду после начала движения. Масса камня 0,2 кг.

Задача 2. Камень бросили под углом 60° к горизонту со скоростью 15 м/с. Найти кинетическую, потенциальную и полную энергию камня: 1) спустя одну секунду после начала движения, 2) в высшей точке траектории. Масса камня 0,2 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 3.

Задача 4. Танк, масса которого 15 т и мощность 368 кВт, поднимается в гору с уклоном 30°. Какую максимальную скорость может развивать танк?

Задача 5. Люстра массой 100 кг подвешена к потолку на металлической цепи, длина которой 5 м. Какова высота, на которую можно отклонить люстру, чтобы при последующих качаниях цепь не оборвалась, если известно, что разрыв наступает при силе натяжения 2 кН?

Задача 6. Ветер, дующий со скоростью v 0 =20 м/с, действует на парус площадью s=25 м 2 с силой F=a sρ(v 0 -v) 2 /2, где а - безразмерный коэффициент, ρ - плотность воздуха, v - скорость судна. Определите условия, при которых мощность ветра максимальна. Найти работу силы ветра.

Задача 7. Автомобиль массой в 1 тонну движется под гору при выключенном моторе с постоянной скоростью 54 км/ч. Уклон горы равен 4 м на каждые 100 м пути. Какую мощность должен развивать двигатель этого автомобиля, чтобы автомобиль двигался с той же скоростью в гору с тем же уклоном?

Задача 8. Молот массой 1,5 т ударяет по раскаленной болванке, лежащей на наковальне и деформирует болванку. Масса наковальни вместе с болванкой равна 20 т. Определить КПД при ударе молота, считая удар неупругим. Считать работу, совершенную при деформации болванки, полезной.

Задача 9. Боек (ударная часть) свайного молота массой 500 кг падает на сваю массой 100 кг со скоростью 4 м/с. Определить: а) кинетическую энергию бойка в момент удара; б) энергию, затраченную на углубление сваи в грунт, в) энергию, затраченную на деформацию сваи, г) КПД удара бойка о сваю. Удар бойка о сваю рассматривать как неупругий.

Задача 10. Снаряд вылетает из орудия под углом α к горизонту со скоростью v 0 . В верхней части траектории снаряд разрывается на две равные части, причем скорости частей непосредственно после взрыва горизонтальны и лежат в плоскости траектории. Одна половина упала на расстоянии s от орудия по направлению выстрела. Определить место падения второй половины, если известно, что она упала дальше первой. Считать, что полет снаряда происходит в безвоздушном пространстве.

Задача 11. Снаряд летит в безвоздушном пространстве по параболе и разрывается в верхней точке траектории на две равные части. Одна половина снаряда упала вертикально вниз, вторая на расстоянии s по горизонтали от места разрыва. Определить скорость снаряда перед разрывом, если известно, что взрыв произошел на высоте Н и упавшая по вертикали вниз половина снаряда падала время τ.